Hukum Newton Pada Gerak Benda yang Dihubungkan 3 Katrol di Bidang Datar Kasar

Daftar Materi Fisika

• 1. Besaran Fisika
• 2. Vektor dan Resultan
• 3. Mekanika (Kinematika dan Dinamika)
• 4. Fisika Optik
• 5. Suhu dan Kalor

Advertisement

Baca Juga:

Pada artikel sebelumnya telah uraikan persamaan gerak benda yang dihubungkan 3 katrol di bidang datar licin. Persamaan gerak pada sistem katrol tersebut antara lain persamaan percepatan dan gaya tegangan tali. Nah, sekarang kita akan mencoba untuk menguraikan persamaan gerak untuk sistem katrol serupa tetapi dengan kondisi bidang datar kasar. Untuk itu, perhatikan gambar ilustrasi di bawah ini.

Tiga buah benda yaitu balok 1, 2 dan 3 dihubungkan seutas tali melalui tiga sistem katrol. Balok 1 dan 2 masing-masing bermassa m1 dan m2 dihubungkan pada katrol tetap dan terletak di bidang datar kasar. Sedangkan balok 3 yang bermassa m3 digantungkan pada katrol bebas bergerak. Gambar garis-garis gaya yang bekerja pada masing-masing balok diperlihatkan seperti pada gambar di atas.

Untuk balok 1 dan 2 yang berada di atas bidang datar kasar, kita memperhitungkan keberadaan gaya gesek yang bekerja antara permukaan balok dengan bidang. Karena gaya gesek dipengaruhi oleh besarnya gaya normal di mana gaya normal ini bekerja pada arah sumbu-Y, maka pada kasus ini kita akan menguraikan resultan gaya pada sumbu-Y khusus untuk balok 1 dan 2.

Apabila besar koefisien gesek antara permukaan balok 1 dengan bidang datar adalah μ1, koefisien gesek balok 2 dengan bidang adalah μ2. Kemudian balok 1 bergerak ke kanan dengan percepatan a1 dan balok 2 bergerak ke kiri dengan percepatan a2 sedangkan benda 3 bergerak ke bawah dengan percepatan a3, maka resultan gaya yang bekerja pada masing-masing balok menurut Hukum Newton adalah sebagai berikut.

Resultan Gaya yang Bekerja pada Balok 1

ΣF1Y = m1a1

N1 – w1 = m1a1

N1 – m1g = m1a1

Karena tidak terjadi gerak dalam arah sumbu-Y, maka a = 0 sehinnga

N1 – m1g = 0

N1 = m1g ………. Pers. (1)

ΣF1X = m1a1

T1 – f1 = m1a1

T1 – μ1N1 = m1a1

Karena N1 = m1g maka

T1 – μ1m1g = m1a1

a1	=	T1 – μ1m1g	………. Pers. (2)
		m1

Resultan Gaya yang Bekerja pada Balok 2

ΣF2Y = m2a2

N2 – w2 = m2a2

N2 – m2g = m2a2

Karena tidak terjadi gerak dalam arah sumbu-Y, maka a = 0 sehinnga

N2 – m2g = 0

N2 = m2g ………. Pers. (3)

ΣF2X = m2a2

T2 – f2 = m2a2

T2 – μ2N2 = m2a2

Karena N2 = m2g maka

T2 – μ2m2g = m2a2

a2	=	T2 – μ2m2g	………. Pers. (4)
		m2

Resultan Gaya yang Bekerja pada Balok 3

ΣF3Y = m3a3

w3 – T3 – T3 = m3a3

w3 – 2T3 = m3a3

m3g – 2T3 = m3a3

a3	=	m3g – 2T3	………. Pers. (5)
		m3

Catatan penting:

Karena balok 3 berada dalam posisi menggantung, maka tidak ada gaya yang bekerja pada sumbu-X sehingga tidak ada resultan gaya pada sumbu-X (ΣF3X).

Untuk sistem 3 benda yang dihubungkan 2 katrol tetap dan 1 katrol bebas dengan percepatan masing-masing benda a1, a2 dan a3 (lihat gambar di atas), maka besar percepatan a3 sama dengan setengah kali percepatan a1 ditambah percepatan a2. Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

a3 = ½ (a1 + a2) ………. Pers. (6)

Dengan demikian, apabila kita subtitusikan persamaan (2), (4) dan (5) ke persamaan (6) maka kita dapatkan persamaan berikut ini.

m3g – 2T3	=	1	(	T1 – μ1m1g	+	T2 – μ2m2g	)
m3		2		m1		m2

Kedua ruas kita kalikan dengan 2

2m3g – 4T3	=	T1 – μ1m1g	+	T2 – μ2m2g
m3		m1		m2

Kita samakan penyebut pada ruas kanan

2m3g – 4T3	=	m2T1 – μ1m1m2g + m1T2 – μ2m1m2g
m3		m1m2

Kita gunakan asas perkalian silang, sehingga persamaan di atas menjadi seperti berikut.

2m1m2m3g – 4m1m2T3 = m2m3T1 – μ1m1m2m3g + m1m3T2 – μ2m1m2m3g …. Pers. (7)

Karena kita mengabaikan massa katrol dan tali serta menganggap katrol licin sempurna, maka antara katrol dengan tali tidak ada momen inersia yang mempengaruhi gaya tegangan tali. Dengan demikian, besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada balok 1, 2 dan 3 adalah sama.

T1 = T2 = T3 = T

Jadi, persamaan (7) dapat kita tuliskan sebagai berikut.

2m1m2m3g – 4m1m2T = m2m3T – μ1m1m2m3g + m1m3T – μ2m1m2m3g

4m1m2T + m1m3T + m2m3T = 2m1m2m3g + μ1m1m2m3g + μ2m1m2m3g

T(4m1m2 + m1m3 + m2m3) = 2m1m2m3g + μ1m1m2m3g + μ2m1m2m3g

T(4m1m2 + m1m3 + m2m3) = m1m2m3g(2 + μ1 + μ2)

T= m1m2m3g(2 + μ1 + μ2)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) ………. Pers. (8)

Dengan demikian, besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada balok 1, 2 dan 3 untuk sistem 3 katrol dengan bidang datar kasar, dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

	T	=	m1m2m3g(2 + μ1 + μ2)
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Kemudian untuk menentukan besar percepatan ketiga balok, kita dapat mensubtitusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (2), (4) atau (5). Berikut ini adalah perhitungan untuk mencari rumus a1, a2 dan a3.

Rumus percepatan balok 1 (a1)

a1	=	T1 – μ1m1g
		m1

a1	=	T1	–	μ1g
		m1

a1	=	m1m2m3g(2 + μ1 + μ2)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)	–	μ1g
		m1

a1	=	m2m3g(2 + μ1 + μ2)	–	μ1g
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

Kita samakan penyebut ruas kanan

a1	=	m2m3g(2 + μ1 + μ2) – (4μ1m1m2g + μ1m1m3g + μ1m2m3g)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a1	=	(2m2m3g + μ1m2m3g + μ2m2m3g) – (4μ1m1m2g + μ1m1m3g + μ1m2m3g)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a1	=	(2m2m3g + μ1m2m3g + μ2m2m3g) – (4μ1m1m2g + μ1m1m3g + μ1m2m3g)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a1	=	2m2m3g + μ2m2m3g – 4μ1m1m2g – μ1m1m3g
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a1	=	m2m3g(2 + μ2) – μ1m1g(4m2 + m3)	………. Pers. (9)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

Jadi, besarnya percepatan balok 1 dapat kita hitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

	a1	=	m2m3g(2 + μ2) – μ1m1g(4m2 + m3)
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Rumus percepatan balok 2 (a2)

a2	=	T2 – μ2m2g
		M2

a2	=	T2	–	μ1g
		m2

a2	=	m1m2m3g(2 + μ1 + μ2)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)	–	μ2g
		m2

a2	=	m1m3g(2 + μ1 + μ2)	–	μ2g
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

Kita samakan penyebut ruas kanan

a2	=	m1m3g(2 + μ1 + μ2) – (4μ2m1m2g + μ2m1m3g + μ2m2m3g)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a2	=	(2m1m3g + μ1m1m3g + μ2m1m3g) – (4μ2m1m2g + μ2m1m3g + μ2m2m3g)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a2	=	(2m1m3g + μ1m1m3g + μ2m1m3g) – (4μ2m1m2g + μ2m1m3g + μ2m2m3g)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a2	=	2m1m3g + μ1m1m3g – 4μ2m1m2g – μ2m2m3g
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a2	=	m1m3g(2 + μ1) – μ2m2g(4m1 + m3)	………. Pers. (10)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

Jadi, besarnya percepatan balok 1 dapat kita hitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

	a2	=	m1m3g(2 + μ1) – μ2m2g(4m1 + m3)
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Rumus percepatan balok 3 (a3)

Rumus percepatan balok 3 atau a3­ dapat kita tentukan dengan cara mensubtitusikan persamaan (9) dan (10) ke dalam persamaan (6), yaitu sebagai berikut.

a3 = ½ (a1 + a2)

a3	=	1	(	m2m3g(2 + μ2) – μ1m1g(4m2 + m3)	+	m1m3g(2 + μ1) – μ2m2g(4m1 + m3)	)
		2		4m1m2 + m1m3 + m2m3		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a3	=	1	(	2m2m3g + μ2m2m3g – 4μ1m1m2g – μ1m1m3g + 2m1m3g + μ1m1m3g – 4μ2m1m2g – μ2m2m3g	)
		2		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a3	=	1	(	2m2m3g + μ2m2m3g – 4μ1m1m2g – μ1m1m3g + 2m1m3g + μ1m1m3g – 4μ2m1m2g – μ2m2m3g	)
		2		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a3	=	1	(	2m2m3g – 4μ1m1m2g + 2m1m3g – 4μ2m1m2g	)
		2		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a3	=	m2m3g – 2μ1m1m2g + m1m3g – 2μ2m1m2g
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a3	=	m3g(m1 + m2) – 2m1m2g(μ1 + μ2)	………. Pers. (11)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

Dengan demikian, besar percepatan balok 3 dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

	a3	=	m3g(m1 + m2) – 2m1m2g(μ1 + μ2)
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Keterangan:
w1	=	Gaya berat benda 1 N)
w2	=	Gaya berat benda 2 (N)
w3	=	Gaya berat benda 3 (N)
N1	=	Gaya normal benda 1 (N)
N2	=	Gaya normal benda 2 (N)
f1	=	Gaya gesek benda 1 (N)
f2	=	Gaya gesek benda 2 (N)
μ1	=	Koefisien gesek benda 1
μ2	=	Koefisien gesek benda 2
T1	=	Gaya tegangan tali pada benda 1 terhadap katrol tetap (N)
T2	=	Gaya tegangan tali pada benda 2 terhadap katrol tetap (N)
T3		Gaya tegangan tali pada benda 2 pada katrol bebas (N)
m1	=	Massa benda 1 (kg)
m2	=	Massa benda 2 (kg)
m3	=	Massa benda 3 (kg)
a1	=	Percepatan benda 1 (m/s2)
a2	=	Percepatan benda 2 (m/s2)
a3	=	Percepatan benda 3 (m/s2)
g	=	Percepatan gravitasi bumi (m/s2)

Catatan penting:

Untuk memahami kenapa besar percepatan a3 = ½ (a1 + a2), silahkan kalian pelajari artikel tentang persamaan gerak benda yang dihubungkan 3 katrol (tetap dan bebas).

Demikianlah artikel tentang cara menentukan rumus percepatan dan gaya tegangan tali pada gerak tiga benda yang dihubungkan tiga katrol (tetap dan bebas) di bidang datar kasar lengkap dengan gambar ilustrasi dan garis-garis gayanya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.