Persamaan Gerak Benda yang Dihubungkan 3 Katrol (Tetap dan Bebas)

Daftar Materi Fisika

• 1. Besaran Fisika
• 2. Vektor dan Resultan
• 3. Mekanika (Kinematika dan Dinamika)
• 4. Fisika Optik
• 5. Suhu dan Kalor

Advertisement

Baca Juga:

Gambar di bawah ini mengilustrasikan tiga buah benda, anggap balok 1, 2 dan 3 yang dihubungkan seutas tali melalui tiga sistem katrol. Balok 1 bermassa m1 dan balok 2 bermassa m2 dihubungkan pada katrol tetap sedangkan balok 3 yang bermassa m3 dihubungkan pada katrol bebas bergerak. Apabila katrol licin dan massanya diabaikan serta m3 > m1 + m2 maka balok 1 dan 2 akan bergerak ke atas sementara itu balok 3 akan bergerak ke bawah.

Nah pada sistem yang bergerak, tentunya ada percepatan dan juga gaya tegangan tali yang bekerja. Lalu tahukah kalian bagaimana cara menentukan besar percepatan masing-masing balok serta gaya tegangan talinya? Untuk dapat menjawab pertanyaan tersebut, silahkan kalian simak secara cermat penjelasan berikut ini.

#1 Menentukan Persamaan Gerak Benda Berdasarkan Hukum Newton

Dalam menentukan persamaan gerak ketiga balok berdasarkan Hukum Newton, tentu saja yang perlu untuk dilakukan pertama kali adalah melukiskan diagram gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing benda. Berikut ini dalah gambar diagram gaya yang bekerja pada balok 1, 2 dan 3. Coba kalian perhatikan dan pahami dengan seksama.

Berdasarkan gambar garis-garis gaya di atas, kita bisa menentukan persamaan gerak ketiga balok tersebut. Persamaan gerak ini diperoleh dengan cara mencari resultan gaya pada masing-masing balok berdasarkan Hukum III Newton. Berikut ini adalah resultan gaya pada balok 1, 2 dan 3.

Resultan Gaya pada balok 1

ΣF1 = m1a1

Karena balok 1 bergerak ke atas, maka gaya yang arahnya ke atas berharga positif sedangkan gaya yang arahnya ke bawah berharga negatif.

T1 – w1 = m1a1

T1 – m1g = m1a1

T1 = m1a1 + m1g ………. Pers. (1)

Resultan Gaya pada balok 2

ΣF2 = m2a2

Karena balok 2 bergerak ke atas sama seperti balok 1, maka gaya yang arahnya ke atas berharga positif sedangkan gaya yang arahnya ke bawah berharga negatif.

T2 – w2 = m2a2

T2 – m2g = m2a2

T2 = m2a2 + m2g ………. Pers. (2)

Resultan Gaya pada balok 3

ΣF3 = m3a3

Karena balok 3 bergerak ke bawah, maka gaya yang arahnya ke bawah berharga positif sedangkan gaya yang arahnya ke atas berharga negatif.

W3 – T3 – T3 = m3a3

w3 – 2T3 = m3a3

m3g – 2T3 = m3a3 ………. Pers. (3)

#2 Menentukan Persamaan Percepatan Gerak Benda

Dalam menentukan hubungan antara a1, a2 dan a3, kita dapat menggunakan rumus jarak pada gerak lurus berubah beraturan atau GLBB. Lalu bagaimana cara menggunakan rumus jarak dalam menentukan hubungan ketiga percepatan tersebut? Coba kalian amati gambar di bawah ini.

Gambar sebelah kiri memperlihatkan keadaan mula-mula sistem. Balok 3 yang massanya lebih besar dari massa balok 1 ditambah massa balok 2 (m3 > m1 + m2) ditahan dengan tangan. Pada kondisi ini, ketiga balok diam. Kemudian, apabila balok 3 dilepaskan maka ketiga balok akan bergerak. Balok 1 dan 2 bergerak ke atas, sementara itu balok 3 bergerak ke bawah.

Gambar sebelah kanan menampilkan skema gerak ketiga balok. Selama selang waktu t, balok 1 bergerak ke atas menempuh titik A ke titik B dengan percepatan a1, balok 2 bergerak ke atas menempuh titik E ke titik F dengan percepatan a2, sedangkan balok 3 bergerak ke bawah menempuh titik C ke titik D dengan percepatan a3. Apabila panjang AB = s1 dan panjang EF = s2, maka panjang CD = ½(s1 + s2). Dengan menggunakan rumus jarak pada GLBB, kita peroleh persamaan berikut.

Jarak yang ditempuh balok 1

s1 = v0t + ½ a1t2

Karena balok 1 mula-mula diam, maka v0 = 0, sehingga

s1 = ½ a1t2 ………. Pers. (7)

Jarak yang ditempuh balok 2

s2 = v0t + ½ a2t2

Karena balok 2 mula-mula diam, maka v0 = 0, sehingga

s2 = ½ a2t2 ………. Pers. (8)

Jarak yang ditempuh balok 3

½(s1 + s2) = v0t + ½ a3t2

Karena balok 3 mula-mula diam, maka v0 = 0, sehingga

½(s1 + s2) = ½ a3t2 ………. Pers. (9)

Apabila kita subtitusikan persamaan (7) dan (8) ke persamaan (9), kita dapatkan persamaan berikut ini.

½(s1 + s2) = ½ a3t2

½(½ a1t2 + ½ a2t2) = ½ a3t2

Ruas kiri dan kanan kita kalikan 2

½ a1t2 + ½ a2t2 = a3t2

a3t2 = ½ (a1t2 + a2t2)

Ruas kiri dan kanan kita bagi dengan t2

a3 = ½ (a1 + a2) ………. Pers. (10)

Dengan demikian, besar percepatan balok 3 sama dengan setengah kali jumlah percepatan balok 1 dengan percepatan balok 2.

#3 Menentukan Besar Percepatan dan Gaya Tegangan Tali

Karena hubungan antara a1, a2 dan a3 sudah kita peroleh, maka kita dapat dengan mudah menentukan rumus percepatan masing-masing balok dan juga gaya tegangan talinya. Namun, sebelum kita dapat menentukan rumus percepatan pada balok 1, 2 dan 3, kita harus terlebih dahulu mencari rumus gaya tegangan tali yang bekerja pada ketiga balok tersebut.

Besar gaya tegangan tali dapat kita tentukan dengan menentukan rumus percepatan dari persamaan (1), (2) dan (3). Kemudian tiga persamaan yang diperoleh, kita hubungkan dengan persamaan (10). Agar tidak bingung, perhatikan uraian berikut ini.

Rumus percepatan dari persamaan (1)

T1 = m1a1 + m1g

m1a1 = T1 – m1g

a1	=	T1 – m1g	………. Pers. (11)
		m1

Rumus percepatan dari persamaan (2)

T2 = m2a2 + m2g

m2a2 = T2 – m2g

a2	=	T2 – m2g	………. Pers. (12)
		m2

Rumus percepatan dari persamaan (3)

m3g – 2T3 = m3a3

m3a3 = m3g – 2T3

a3	=	m3g – 2T3	………. Pers. (13)
		m3

Apabila kita subtitusikan persamaan (11), (12) dan (13) ke persamaan (10), kita dapatkan persamaan berikut.

a3 = ½ (a1 + a2)

m3g – 2T3	=	1	(	T1 – m1g	+	T2 – m2g	)
m3		2		m1		m2

Kita kalikan ruas kanan dan kiri dengan 2

2m3g – 4T3	=	T1 – m1g	+	T2 – m2g
m3		m1		m2

2m3g – 4T3	=	m2T1 – m1m2g + m1T2 – m1m2g
m3		m1m2

2m3g – 4T3	=	m2T1 + m1T2 – 2m1m2g
m3		m1m2

Dengan menggunakan sistem perkalian silang, maka persamaan di atas menjadi

2m1m2m3g – 4m1m2T3 = m2m3T1 + m1m3T2 – 2m1m2 m3g

Dalam kasus ini, kita mengabaikan massa katrol dan tali serta menganggap katrol licin sempurna (tidak ada gesekan sama sekali). Oleh karena itu, antara katrol dengan tali tidak ada momen inersia yang mempengaruhi gaya tegangan tali sehingga besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada balok 1, 2 dan 3 adalah sama.

T1 = T2 = T3 = T

Dengan demikian persamaan di atas kita tulis ulang menjadi seperti berikut.

2m1m2m3g – 4m1m2T = m2m3T + m1m3T – 2m1m2 m3g

m2m3T + m1m3T + 4m1m2T = 2m1m2m3g + 2m1m2 m3g

m2m3T + m1m3T + 4m1m2T = 4m1m2m3g

T(m2m3 + m1m3 + 4m1m2) = 4m1m2m3g

T = 4m1m2m3g/(m2m3 + m1m3 + 4m1m2)

T = 4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) ………. Pers. (14)

Jadi, besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada ketiga balok dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

	T	=	4m1m2m3g
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Apabila rumus gaya tegangan tali sudah diketahui, maka kita dapat menentukan rumus percepatan untuk balok 1, 2 dan 3 dengan mensubtitusikan persamaan (14) ke dalam persamaan (1), (2) atau (3). Berikut ini adalah perhitungan untuk menentukan besar percepatan a1, a2 dan a3.

Rumus percepatan balok 1 (a1)

T1 = m1a1 + m1g

4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) = m1a1 + m1g

m1a1 = {4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)} – m1g

m1a1 = (4m1m2m3g – 4m12m2g – m12m3g – m1m2m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)

m1a1 = (3m1m2m3g – 4m12m2g – m12m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)

Kedua ruas kita bagi dengan m1

a1 = (3m2m3g – 4m1m2g – m1m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) ………. Pers. (15)

Jadi, besarnya percepatan balok 1 dapat kita hitung dengan rumus sebagai berikut.

	a1	=	3m2m3g – 4m1m2g – m1m3g
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Rumus percepatan balok 2 (a2)

T2 = m2a2 + m2g

4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) = m2a2 + m2g

m2a2 = {4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)} – m2g

m2a2 = (4m1m2m3g – 4m1m22g – m1m2m3g – m22m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)

m2a2 = (3m1m2m3g – 4m1m22g – m22m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)

Kedua ruas kita bagi dengan m2

a2 = (3m1m3g – 4m1m2g – m2m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) ………. Pers. (16)

Jadi, besarnya percepatan balok 2 dapat kita tentukan dengan rumus sebagai berikut.

	a2	=	3m1m3g – 4m1m2g – m2m3g
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Rumus percepatan balok 3 (a3)

Apabila kita subtitusikan persamaan (15) dan (16) ke persamaan (10), maka kita dapatkan rumus percepatan untuk balok 3, yaitu sebagai berikut.

a3 = ½ (a1 + a2)

a3	=	1	(	3m2m3g – 4m1m2g – m1m3g	+	3m1m3g – 4m1m2g – m2m3g	)
		2		4m1m2 + m1m3 + m2m3		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a3	=	1	(	2m1m3g + 2m2m3g – 8m1m2g	)
		2		4m1m2 + m1m3 + m2m3

a3	=	m1m3g + m2m3g – 4m1m2g	………. Pers. (17)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

Jadi, besarnya percepatan balok 3 dapat kita tentukan dengan rumus sebagai berikut.

	a3	=	m1m3g + m2m3g – 4m1m2g
			4m1m2 + m1m3 + m2m3

Keterangan:
w1	=	Gaya berat benda 1 N)
w2	=	Gaya berat benda 2 (N)
w3	=	Gaya berat benda 3 (N)
T1	=	Gaya tegangan tali pada benda 1 terhadap katrol tetap (N)
T2	=	Gaya tegangan tali pada benda 2 terhadap katrol tetap (N)
T3		Gaya tegangan tali pada benda 2 pada katrol bebas (N)
m1	=	Massa benda 1 (kg)
m2	=	Massa benda 2 (kg)
m3	=	Massa benda 3 (kg)
a1	=	Percepatan benda 1 (m/s2)
a2	=	Percepatan benda 2 (m/s2)
a3	=	Percepatan benda 3 (m/s2)
g	=	Percepatan gravitasi bumi (m/s2)

Referensi:
http://wwwf.imperial.ac.uk/metric/metric_public/mechanics/pulleys2/pulleys2.html

Demikianlah artikel tentang cara menentukan rumus percepatan dan gaya tegangan tali pada gerak tiga benda yang dihubungkan tiga katrol (tetap dan bebas) lengkap dengan gambar ilustrasi dan garis-garis gayanya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.