Rumus dan Sifat Perkalian Silang (Cross Product) 2 Vektor Beserta Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Fisika

• 1. Besaran Fisika
• 2. Vektor dan Resultan
• 3. Mekanika (Kinematika dan Dinamika)
• 4. Fisika Optik
• 5. Suhu dan Kalor

Advertisement

Baca Juga:

Definisi dan Rumus Perkalian Silang Dua Vektor

Pada dasarnya, perkalian vektor itu dibedakan menjadi dua, yaitu perkalian antara vektor dengan skalar dan perkalian antara vektor dengan vektor. Lalu perkalian antara vektor dengan vektor dibedakan menjadi dua jenis yaitu perkalian titik (dot product) atau sering disebut dengan perkalian skalar dan perkalian silang (cross product). Perkalian silang inilah yang sejatinya disebut sebagai perkalian vektor. Mengapa demikian? Untuk mengetahui jawabannya simak baik-baik penjelasan berikut ini.

Perkalian silang atau cross product dua buah vektor, misalkan antara vektor A dan vektor B yang dituliskan sebagai A × B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. Pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang  antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:

	A × B	=	C
	|A × B|	=	AB sin α

Keterangan:
α	=	sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ 𝛼 ≤ 180o
C	=	vektor lain hasil perkalian silang antara vektor A dan B
|A x B|	=	besar vektor hasil perkalian silang antara vektor A dan B

Dari persamaan perkalian silang di atas, dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian silang dua buah vektor adalah sebuah vektor baru yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh dua vektor tersebut. Simbol dari perkalian silang adalah “×” (baca: cross). Karena hasil perkalian silang adalah vektor maka perkalian silang atau cross product disebut juga dengan perkalian vektor atau vector product. Untuk menentukan arah vektor hasil perkalian silang dapat digunakan aturan tangan kanan sebagai berikut.

Dengan menggunakan kaidah tangan kanan, arah vektor C hasil perkalian A terhadap B atau dapat kita tulis C = A × B adalah tegak lurus ke atas tidak menembus bidang yang dibentuk vektor A dan B. Perkalian vektor A × B ditunjukkan pada arah lipatan empat jari yaitu dari A ke B. Sedangkan ibu jari menunjukkan arah vektor C hasil perkalian antara vektor A terhadap vektor B. Konsep yang sama juga berlaku pada perkalian vektor B terhadap A.

Arah vektor C hasil perkalian B terhadap A atau kita tulis sebagai C = B× A adalah tegak lurus ke bawah menembus bidang yang dibentuk vektor A dan B. Perkalian vektor B × A ditunjukkan pada arah lipatan empat jari dari gengaman tangan kanan yang dibalik ke bawah yang menunjukkan arah dari B ke A. Dan ibu jari menunjukkan arah vektor C hasil perkalian antara vektor B terhadap A.

Di dalam perkalian silang (cross product) antara dua vektor ada beberapa point penting yang perlu kalian ingat. Point-point penting tersebut adalah sebagai berikut.

1	Pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif sehingga
	A x B ≠ B x A
2	Pada perkalian silang berlaku sifat anti komutatif yaitu
	A x B = - B  x A
3	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (𝛼 = 90o) maka
	|A x B| = AB → sin  90o = 1
4	Jika kedua vektor A dan B searah (𝛼 = 0o) maka
	|A x B| = 0 → sin  0o = 0
5	Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah (𝛼 = 180o) maka
	|A x B| = 0 → sin  180o = 0

Perkalian Silang Pada Vektor Satuan

Terdapat dua konsep perkalian silang pada vektor satuan yang perlu kalian pahami. Konsep pertama adalah perkalian silang antara vektor satuan yang sejenis (ex. i × i), dimana hasil perkalian silang untuk vektor-vektor yang sejenis, hasilnya adalah nol. Perhatikan perhitungannya berikut ini.

i × i = 1.1 sin 0o = 0

j × j = 1.1 sin 0o = 0

k × k = 1.1 sin 0o = 0

Dan konsep yang kedua adalah perkalian silang antara vektor satuan yang tidak sejenis (ex. i × j), dimana hasil dapat ditentukan dengan menggunakan siklus perkalian silang vektor satuan seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

Dengan menggunakan konsep perkalian silang antara vektor satuan sejenis dan juga siklus perkalian silang di atas, kita dapat menentukan hasil perkalian silang dua vektor satuan dengan sangat mudah. Misalkan terdapat dua vektor berikut ini.

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian silang antara vektor A dan B adalah sebagai berikut

A × B	=	(Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A × B	=	Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azkx Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
		→  karena i x i = j x j = j x k = 1x1 sin 0o = 0 maka
A × B	=	0 + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + 0 + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk xByj + 0
A × B	=	Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj
		→  dengan menggunakan siklus perkalian silang maka
A × B	=	AxByk – AxBzj – AyBxk­ + AyBzi + AzBxj – AzByi
A × B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa hasil perkalian silang antara dua vektor satuan dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z)adalah sebagai berikut:

A	=	Axi + Ayj + Azk
B	=	Bxi + Byj + Bzk

maka

A × B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Jika kalian masih merasa kesulitan dalam menghitung perkalian silang vektor satuan dengan menggunakan siklus di atas, ada cara lain yang lebih mudah dan simple dalam mencari hasil perkalian silang dua vektor satuan. Cara tersebut adalah dengan menggunakan metode determinan. Dengan menggunakan metode ini, kalian tidak perlu repot-repot menghafal rumus di atas. Perhatikan bagan berikut ini.

Dengan menggunakan metode determinan tersebut, maka hasil perkalian silang antara vektor A dan vektor B di atas adalah sebagai berikut.

A × B	=	i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz
A × B	=	(AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k­

Bagaimana? Lebih simple dan mudah dengan metode determinan bukan? Cara ini merupakan cara yang paling efektif dan efisien dalam menghitung perkalian silang dua vektor satuan.

 

Sifat-Sifat Perkalian Silang Vektor

Jika A, B dan C adalah sembarang vektor dan k ∈ R adalah skalar, maka sifat perkalian silang antara vektor vektor tersebut adalah sebagai berikut.

Perkalian silang memiliki sifat antikomutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

Perkalian silang memiliki sifat asosiatif, yaitu

k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)

Dan terakhir, perkalian silang memiliki sifat distributif, yaiut

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(A + B) × C = (A × C) + (B × C)

 

Contoh Soal Perkalian Silang Dua Vektor dan Pembahasan

Untuk lebih memahami penerapan rumus perkalian silang dua buah vektor, silahkan kalian pahami beberapa contoh soal perkalian silang dua buah vektor beserta pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal #1

Vektor A = 10 N dan vektor B = 20 cm, satu titik tangkap dan saling mengapit sudut 30° satu dengan lain. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B.

Penyelesaian:

A × B = AB sin α

A × B = 10 N. 20 cm . sin 30°

A × B = 10 N. 20 cm . ½

A × B = 100 Nm

 

Contoh Soal #2

Hitunglah hasil perkalian silang dua verktor A = i + j + k dan B = 3i + j + 2k. Kemudian tentukan besar sudut yang dibentuk (diapit) kedua vektor tersebut.

Penyelesaian:

Hasil perkalian

A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k

A × B = (1×2 – 1×1)i + (1×3 – 1×2)j + (1×1 – 1×3)k

A × B = (2 – 1)i + (3 – 2)j + (1 – 3)k

A × B = i + j – 2k

Sudut yang dibentuk

|A × B|	= AB sin α
A	= √(12 + 12 + 12) = √3
B	= √(32 + 12 + 22) = √14
|A × B|	= √{(12 + 12 + (-22)} = √6
maka
√6	= (√3)(√14) sin α
√6	= √42 sin α
sin α	= √6/√42
sin α	= 0,378
α	≈ 22,21o

Demikianlah artikel tentang pengertian, rumus dan sifat perkalian silang (cross product) dua vektor beserta contoh soal cara menentukan hasil perkalian silang dan sudut yang dibentuk antara dua vektor satuan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.