Perkalian Vektor: Macam-Macam, Sifat, Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Fisika

• 1. Besaran Fisika
• 2. Vektor dan Resultan
• 3. Mekanika (Kinematika dan Dinamika)
• 4. Fisika Optik
• 5. Suhu dan Kalor

Advertisement

Baca Juga:

Dalam artikel tentang pengertian, gambar, notasi dan sifat-sifat vektor, telah disebutkan bahwa salah satu sifat vektor yaitu dapat dikalikan. Jika pada artikel-artikel sebelumnya telah dibahas mengenai cara menentukan resultan vektor hasil penjumlahan dan pengurangan baik dengan metode grafis maupun metode analisis, maka dalam artikel ini akan kita bahas mengenai perkalian vektor. Untuk memahami tentang perkalian vektor simak penjelasan berikut ini.

Macam-Macam Perkalian Vektor

Operasi vektor tidak hanya terbatas pada penjumlahan dan pengurangan vektor saja operasi perkalian juga berlaku untuk vektor. Lalu apa saja jenis-jenis perkalian vektor itu? Dalam fisika, perkalian vektor dibedakan menjadi 3 macam yaitu:

1. Perkalian Vektor dengan Skalar

2. Perkalian Titik (Dot Product)

3. Perkalian Silang (Cross Product)

Ketiga jenis perkalian tersebut memiliki aturan, rumus serta sifat yang berbeda-beda. Untuk memahami mengenai tiga macam perkalian vektor tersebut, lanjutkan menyimak penjelasan dibawah ini.

1. Perkalian Vektor dengan Skalar

Untuk memahami mengenai perkalian vektor, kita ambil contoh seperti berikut

Seorang anak sedang mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 50 km/jam ke arah utara. Maka setelah beberapa waktu, anak dan motor tersebut telah mengalami perpindahan. Kita tahu bahwa kecepatan adalah perpindahan per selang waktu. Dari pengertian ini maka besar perpindahan yang dialami si anak dapat dihitung dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:

s = vt

Keterangan:
s	= perpindahan (m)
v	= kecepatan (m/s)
t	= selang waktu (s)

kita tahu bahwa kecepatan adalah besaran vektor sedangkan waktu adalah besaran skalar. Berdasarkan persamaan di atas, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan perpindahan yang termasuk besarn vektor. Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian antara vektor dan skalar adalah vektor.

Secara matematis, perkalian vektor dengan skalar memiliki arti yang sederhana. Misalkan hasil kali antara skalar k dengan sebuah vektor A menghasilkan vektor B, maka aturan perkalian tersebut dituliskan sebagai berikut:

B = kA

Dari persamaan tersebut, maka besar vektor B besarnya adalah besar k dikalikan dengan besar A. Dan arah vektor B searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan A jika k negatif.

Perkalian Vektor Satuan dengan Skalar

Aturan di atas juga berlaku untuk perkalian vektor satuan dengan skalar baik secara dua dimensi maupun tiga dimensi. Aturannya adalah sebagai berikut:

2 Dimensi		3 Dimensi
r	= xi + yj	r	= xi + yj + zk
kr	= kxi + kyj	kr	= kxi + kyj + kzk

Sifat Perkalian Vektor dan Skalar

Perkalian antara vektor dengan skalar mempunyai sifat distributif yaitu:

k(A + B) = kA + kB

Contoh Soal Perkalian Vektor dan Skalar dan Pembahasannya

Diketahui suatu vektor A digambarkan sebagai berikut

Gambarlah vektor B, jika:

B = 2A; B = -2A; B = ½A; B = -½A

Jawab

B = 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang semula dan arahnya sama dengan arah vektor A	B = - 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang semula tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A
B = ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang semula dan arahnya sama dengan arah vektor A	B = - ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang semula tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A

2. Perkalian Titik (Dot Product)

Untuk memahami tentang perkalian titik, perhatikan gambar di bawah ini

Perkalian titik dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A . B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang searah vektor A.pada gambar di  atas, komponen vektor B yang searah vektor A adalah B cos α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian titik antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:

A . B = AB cos α = |A||B| cos α

Keterangan:
α	= sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o
A	= |A| besar vektor A
B	= |B| besar vektor B

Dari definisi perkalian titik tersebut dapat disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar.

Simbol dari perkalian titik adalah (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karena hasil perkalian adalah skalar maka perkalian titik disebut juga dengan scalar product.

Dalam perkalian titik, ada 3 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka
	A . B = 0 → cos 90o = 0
2.	Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka
	A . B = AB → cos 0o = 1
3.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α = 180o) maka
	A . B = - AB → cos 180o = -1

Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

Perhatikan gambar di atas, vektor satuan i, j, dan k merupakan vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o dan nilai ketiga vektor tersebut adalah 1. Maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut adalah sebagai berikut:

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit)

i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus)

Dengan menggunakan hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita dapat mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:

A . B	=	(Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
A . B	=	Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk + Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk
		→  karena i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka
A . B	=	Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk
A . B	=	Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk
		→  karena i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka
A . B	=	AxBx + AyBy + AzBz

Sifat Perkalian Titik

Perkalian titik memiliki sifat distributif, yaitu:

A.(B + C) = A.B + A.C

Dan juga memiliki sifat komutatif, yaitu:

A.B = B.A

Contoh Soal Perkalian Titik dan Pembahasannya

Sebuah vektor gaya dan perpindahan mempunya persamaan F = (2i + 3j + 5k) N dans = (4i + 2j – k) m. tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya!

Jawab:

Diketahui:

F = (2i + 3j + 5k)

s = (4i + 2j – k)

ditanya: usaha (W)

Usaha merupakan hasil perkalian titik antara gaya dengan perpindahan, jadi

W = F . s

W = (2i + 3j + 5k) . (4i + 2j – k)

W = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)

W = 8 + 6 – 5

W = 9

Jadi usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah 9 joule.

3. Perkalian Silang (Cross Product)

Untuk memahami tentang perkalian silang, perhatikan gambar di bawah ini

Perkalian silang dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A x B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:

	A x B	= C
	|A x B|	= AB sin α

Keterangan:
α	= sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o
C	= vektor lain hasil perkalian silang antara vektor A dan B
|A x B|	= besar vektor hasil perkalian silang antara vektor A dan B

Dari definisi perkalian silang tersebut dapat disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian silang dua buah vektor adalah sebuah vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh A da B.

Untuk lebih memahami tentang arah vektor hasil perkalian silang perhatikan tabel penjelasan di bawah ini

Arah Hasil Perkalian Silang A x B	Arah Hasil Perkalian Silang B x A
Arah dari vektor C tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan B. Untuk menunjukkan arah vektor C, kita gunakan kaidah tangan kanan dimana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan  lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang A x B arahnya menuju ke atas tidak menembus bidang.	Sama halnya dengan arah hasil perkalian silang A x B. Kita juga bisa menggunakan kaidah tangan kanan, namun bedanya genggaman tangan dibalik, dimana ujung vektor B menuju ujung vektor A searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang B x A arahnya menuju ke bawah menembus bidang.

Dalam perkalian silang, ada 5 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1.	Pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif sehingga
	A x B ≠ B x A
2.	Pada perkalian silang berlaku sifat anti komutatif yaitu
	A x B = - B  x A
3.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka
	|A x B| = AB → sin  90o = 1
4.	Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka
	|A x B| = 0 → sin  0o = 0
5.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α= 180o) maka
	|A x B| = 0 → sin  180o = 0

Perkalian Silang Pada Vektor Satuan

vektor satuan i, j, dan k masing-masing bernilai 1. Hasil perkalian silang pada vektor satuan yang sama adalah sebagai berikut:

i x i = 1.1 sin 0o = 0

j x j = 1.1 sin 0o = 0

k x k = 1.1 sin 0o = 0

Untuk hasil perkalian silang pada vektor satuan yang berbeda kita gunakan siklus berikut:

Dengan menggunakan hasil perkalian silang pada vektor satuan dan juga siklus di atas, kita dapat mencari hasil perkalian silang suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian silang antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:

A x B	=	(Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B	=	Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
		→  karena i x i = j x j = j x k = 1x1 sin 0o = 0 maka
A x B	=	0 + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + 0 + Ayj x Bzk + Azk x Bxi +Azk x Byj + 0
A x B	=	Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj
		→  dengan menggunakan siklus perkalian silang maka
A x B	=	AxByk – AxBzj – AyBxk­ + AyBzi + AzBxj – AzByi
A x B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Selain menggunakan siklus perkalian silang di atas, untuk mempermudah mengingat rumus kita dapat menggunakan metode determinan seperti berikut ini:

A x B	=	i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz
A x B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Sifat Perkalian Silang

Perkalian silang memiliki sifat antikomutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

Perkalian silang memiliki sifat asosiatif, yaitu

k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)

Dan terakhir, perkalian silang memiliki sifat distributif, yaiut

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(A + B) × C = (A × C) + (B × C)

 

Contoh Soal Perkalian Silang dan Pembahasannya

Sebuah gaya dengan persamaan F = (i + 2j – k) N bekerja pada daun pintu. Jika dilihat dari sebuah engsel, gaya tersebut bekerja pada vektor posisi r = (0,8i + 0,2j) m. Tentukan persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut.

Jawab:

Diketahui:

F = (i + 2j – k) N

r = (0,8i + 0,2j) m

Ditanyakan : momen gaya (τ)

Momen gaya merupakan hasil perkalian silang antara vektor posisi dengan gaya. Jadi:

τ = r x F

τ = (0,8i + 0,2j)  x (i + 2j – k)

τ = (0,8)(1)(i x i) + (0,8)(2)(i x j) + (0,8)(-1)(i x k) + (0,2)(1)(j x i) + (0,2)(2)(j x j) + (0,2)(-1)(j x k)

τ = 0 + 1,6k – 0,8(-j) + 0,2(-k) + 0 – 0,2i

τ = -0,2i + 0,8j + 1,4k

jadi, persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut adalah τ = (-0,2i + 0,8j+ 1,4k) Nm.

Demikianlah artikel tentang pengertian, sifat, rumus, aturan dan contoh soal beserta pembahasannya terkait dengan perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik dan perkalian silang. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.